Minimala ytor
Inom både matematik och ingenjörskonst vill man hitta den minsta tänkbara kostnaden att göra någonting. Ett exempel: om man har en given kant, vilken är den minsta yta, som man kan spänna upp över den kanten.
Radio Unga Forskare Stockholm - Vetenskap - Sveriges första podcast!
Du lyssnar på: Minimala ytor
Notering: vi håller på att bygga upp funktionen. Så allt är ännu inte klart. Bättre navigation och transkription är på väg.
Vi lade ut våra första episoder 1997, innan det ens fanns något som hette podcast. Sedan dess har vi lagt ut över 400 föredrag och diskussioner. 2004 sände vi vår sista avsnitt över 88,9 MHz i Stockholm. Sedan dess har podden legat i träda. Men nu är den tillbaka som arkiv.
Transkription32 repliker · 3:14
Transkriptionen är automatiskt genererad och kan innehålla fel.
Klicka på en replik för att höra den.
Inom både matematik och ingenjörskonst vill man oftast hitta den minsta tänkbara kostnaden att göra någonting.
Ett intressant problem är om man har en given kant, vilken är den minsta yta som man kan spänna upp över den här kanten?
Om det här är bara en helt plan kant så är det naturligtvis uppenbart att det måste vara en plan yta.
Men om kanten är böjd, bucklig och komplicerad i tre dimensioner så är det inte självklart vilken sorts yta det ska vara.
Men man kan ju alltid prova att ta den här kanten, doppa ner den i såpa och lyfta upp den så att man får en såpinna som täcker den.
Och då ser man ju att såpinnen tar och bildar en minimal yta.
Den sträcks ut av ytspänningen och finns det någon buckla där den kan göra sig av med extra yta så kommer den bucklan att krympa bort.
Frågan är, finns det alltid en sån här minsta yta?
Det här har man studerat sedan ganska lång tid och det kallas ibland för Plateaus problem efter Joseph-Antoine Plateau, en fransk matematiker som på 1800-talet formulerade strikt matematiskt.
Det intressanta är att om man studerar en såpyta ser man att på varje liten fläck yta så böjer sig den lika mycket uppåt som nedåt.
Det innebär att ytans krökning i medeltal är noll.
Om det var så att den krökte sig mycket åt samma håll så skulle man kunna minska ytan genom att röra undan den.
Medan däremot om den liknar en sadel så är den stabil.
Det här är ganska svårt att formulera på ett prydligt matematiskt sätt men det visade sig att redan från början att om man tar två cirklar och försöker förbinda dem med den minsta möjliga ytan så är det allmänhet vad man kallar en katenoid.
En böjd yta.
Ungefär som en tratt.
Om man separerar dem längre och längre så blir den här tratten smalare och till sist spricker dem.
Det här kan man observera om man provar att göra samma experiment med såpbubblor.
Man kan också visa att matematiska existerar andra ytor för mer komplicerade kanter.
Men ingen lyckades visa att plateaus antagen att det alltid existerar den minsta möjliga yta.
Förrän 1931 när amerikanen Jesse Douglas och ungrären Tibor Rady lyckades bevisa att det alltid existerar en yta som har minsta möjliga aria.
Problemet med deras bevis var att den visade bara att det existerade.
Inte hur man kunde hitta den.
Många ingenjörer var väldigt intresserade av problemet.
Helt enkelt därför att man i konstruktioner kostade mycket pengar för att till exempel lägga ett tak.
Och då vill man använda minsta möjliga material.
Till exempel så är de olympiska stadion vid München skapad med hjälp av såpbubblor.
När man skulle designa taket så definierade man helt enkelt delarna med metallramar man sänkte ner i såpa och mätte sedan noggrant på det.
Idag kan man dock använda datorsimulationer för att göra samma sak.
Ingenjörsmässigt är det här väldigt spännande för det innebär att krafterna på varje liten bit av taket blir lika stora åt alla håll.
Och man har den minsta tänkbara mängden material.
Så kort sagt, det finns mycket man kan lära sig från såpbubblor.
För att ladda ner föredragen till din dator istället för att bara lyssna på dem, högerklickar du på länken “Ladda ner föredraget” och väljer “Spara som” eller motsvarande för din webbläsare.